Un canal.

«En un canal de sección rectangular se conduce un gasto de 120 metros cúbicos cada segundo con una velocidad máxima de 3 metros cada segundo. El coeficiente de rugosidad del canal es de 0.018. Determine las dimensiones del canal así como la pendiente con que debe de ser trazado.»

Mi primera reacción fue decir «en la madre…» pero bajito, para que mis compañeros no se dieran cuenta. Acto seguido puse a pensar.

Estaba yo en la clase de hidráulica 2. Esta vez estábamos especializándonos en flujo en canales, algo que al principio puede parecer que tiene un área de aplicación que no tiene mucho que ver con los ingenieros civiles hasta que te das cuenta que alguien tiene que llevarle agua a las sedientas ciudades y sólo los civiles hacen obras de megaingeniería. Entonces, y dado que no hay más remedio, tomé mi libro de hidráulica de canales para inspirarme.

También comencé a anotar los datos con que contaba. Mis compañeros más jóvenes suelen preguntarse por qué el viejito de la clase tiene que apuntar todo con tanta lentitud, pero es que si no se me olvidan las cosas. Así, pues, comencé apuntando los datos con que contaba .El caudal, Q, es igual a 120 m3/s. El coeficiente de rugosidad es de 0.018, un número adimensional consistente con canales de tierra arcillosa apisonada o concreto en buen estado. La velocidad es de 3 metros sobre segundo. Y el canal tiene forma rectangular.

Muy bien. ¿Qué otra cosa puedo obtener con ellas? Nada, si no conozco las fórmulas. Lo bueno es que las conozco: a un canal de sección rectangular le puedo encontrar el área húmeda (Base por altura, a=by), el perímetro mojado (base mas paredes húmedas, p=b+2y), su espejo de agua (la superficie libre es igual a la base, T=b), su radio hidráulico (área húmeda entre perímetro mojado, R=a/p) y su profundidad media (área húmeda entre espejo de agua, Ym=a/b). Además conocemos que el caudal es igual al área por su velocidad (Q=aV) y que la velocidad es el inverso del coeficiente de rugosidad por el radio hidráulico elevado a la dos tercios por la raíz cuadrada de la pendiente (V= 1/n R^2/3 So^1/2). Por el momento ignoraremos de dónde cuernos y para qué carajos sirven esas cosas, y nos limitaremos a aceptarlas.

Entonces tenemos que apuntar también las incognitas que nos faltan, como la pendiente (So), el espejo de agua, (t), la base (b) y la altura (y) y, por supuesto, su profundidad media (Ym) aunque en realidad no hay que darla por supuesto. Comenzamos calculando algo muy importante: el área. Pero… ¿cómo conocer el área si no conocemos el perímetro? Sencillo: tomamos en cuenta que el caudal de un canal es igual a su área por su velocidad. ¿Conocemos el área? No. ¿Su caudal? Sí. ¿Y la velocidad? También. Entonces despejamos el área: A=(Q/V)=(120/3)=40 m2.

Ahora vamos calcular otras cosas. Por ejemplo, conocemos que el radio hidráulico es igual al área sobre el perímetro mojado. Ya tenemos el área, pero no el perímetro mojado. Son dos incógnitas, y por tanto no se puede resolver. Pero también tenemos entre las fórmulas que el área es igual a la base por la altura… y que el perímetro es igual a la base mas dos veces la altura mojada. Ahí las variables son iguales. Quizá si trabajáramos por sustitución de variables…
40=BY, por tanto B=40/Y
P=B+2Y, por tanto P= 40/y + y, por tanto P= 40y^-1 + 2Y.
Así nos queda una ecuación con respecto a una sola variable. Y entonces viene una de esas cosas para las cuales nos enseñan cálculo diferencial e integral, pero que como nunca explican para qué carajos sirve, porque los matemáticos todavía no tienen una idea de para qué sirve su ciencia a nivel práctico. Aquí resulta que la primera derivada de la ecuación anterior nos puede dar la respuesta del valor de Y por ser una ecuación diferencial ordinaria.

Si derivamos la ecuación, obtendremos, con un poco de suerte, el máximo o mínimo de esa función, y conociendo ese valor podremos realizar sustitución para conocer el valor exacto. Es decir, la primera derivada de 40y^-1 + 2Y es (-1)40y^(-1-1)+2= -40Y^-2 + 2 y si esta función la igualamos a cero obtenemos -40Y^-2 + 2 = 0, por tanto -40Y^-2 = -2 y por tanto, si despejamos Y, nos queda que Y es igual a la raíz cuadrada de menos cuarenta entre menos dos, o sea y=sqrt(-40 / -2). Y es, por tanto, la raíz cuadrada de veinte, que a su vez es 4.47214 metros, lo cual, casualmente, es la profundidad del canal.

Y con eso ya tenemos la oportunidad de despejar la base del canal. B=40/4.47214=8.94426 metros, con lo cual el área, a manera de comprobación, es de 8.94426*4.47214=40 m2. Y además, si conocemos tanto la base como la altura, podemos conocer el perímetro mojado, que son 8.94426+2*4.47214=17.88854 m. Si tenemos tanto el perímetro mojado como el área podemos calcular el radio hidráulico, que son 40/17.88854=2.236107 metros, y entonces ya podemos despejar la pendiente.

Aunque todavía no se deciden sobre si la pendiente es un número adimensional o no (después de todo son metros entre metros, lo cual se eliminaría) la fórmula de la cual podemos obtenerla es la fórmula de la velocidad máxima, es decir, V= 1/n R^2/3 So^1/2, la cual podemos despejar en términos de So para que quede, en notación lineal, como sigue: So=[(v*n)/R^(2/3)]^2, todo lo cual, al reemplazar variables, nos queda como So=[(3*0.018)/2.23607^(2/3)]^2=0.001 metros/metro.

Y así se salvó el oeste, por un canal cuya pendiente era 1‰.